微分流形

微分流形

严格定义微分流形: 粗略地看, 微分流形就是带有微分结构的拓扑空间.

定义1: 拓扑空间(M, $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$)称为n维微分流形(n-dimensional differentiable manifold), 如果M有开覆盖{$O_{\alpha }$$O_\alpha$}(M=$\cup O_{\alpha }$$\cup O_\alpha$), 满足

1. 对每一个$O_{\alpha }$$O_\alpha$, 存在同胚${\mathrm{\Psi }}_{\alpha }:O_{\alpha }\to V_{\alpha }$$\Psi_\alpha: O_\alpha \rightarrow V_\alpha$($V_{\alpha }$$V_\alpha$是${\mathbb{R}}^n$$\mathbb{R}^n$上通常拓扑衡量的开子集);
2. 若$O_{\alpha }\cap O_{\beta }\ne \varnothing$$O_\alpha\cap O_\beta \ne \varnothing$, 则${\mathrm{\Psi }}_{\beta }\circ {\mathrm{\Psi }}_{\alpha }^{-1}$$\Psi_\beta\circ\Psi_\alpha^{-1}$是$C^{\mathrm{\infty }}$$C^{\infty}$(光滑)的;

定义2: 坐标系($O_{\alpha },{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }$$O_\alpha, \Psi_\alpha$)在数学上又叫图(chart) 满足定义1 条件1、2的全体图的集合{($O_{\alpha },{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }$$O_\alpha, \Psi_\alpha$)}叫图册(atlas). 条件(2)又称相容性(compatibility)条件， 因此说一个图册中的任意两个图都是相容的.

定义3: 互相微分同胚(diffeomorphic to each other ), 如果$\mathrm{\exists }f:M\to M^{\prime }$$\exist f: M\rightarrow M'$, 满足

1. $f,f^{\prime }$$f, f'$是$C^{\mathrm{\infty }}$$C^{\infty}$的
2. $f$$f$ 是一一映射

记号: M上的所有光滑函数记为${\mathcal{F}}_M$$\mathcal{F}_M$

切矢和切矢场

定义1: 映射$v$$v$ : ${\mathcal{F}}_M\to \mathbb{R}$$\mathcal{F}_M \rightarrow \mathbb{R}$称为点$p\in M$$p\in M$ 的一个 矢量(vector), 若 $\mathrm{\forall }f,g\in {\mathcal{F}}_M,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$$\forall f, g \in \mathcal{F}_M, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$, 有

1. (线性性）$v(\alpha f+\beta g)=\alpha v(f)+\beta v(g)$$v (\alpha f + \beta g )=\alpha v(f )+ \beta v(g)$;
2. (莱布尼茨律）$v(fg)=f{|}_{p}v(g)+g{|}_{p}v(f)$$v(f g )=f |_p v( g )+ g|_p v(f )$, 其中$f{|}_p$$f|_p$代表函数$f$$f$ 在p 点的值，亦可记作$f(p)$$f(p)$.

例1: 由上述定义立即可以得到p点的n个矢量, 记作$X_{\mu },\mu =1,\dots ,n$$X_\mu, \mu = 1,\dots,n$.它们作用在任一函数$f\in {\mathcal{F}}_M$$f\in \mathcal{F}_M$的结果为:

它们被称为坐标基底

定理1: p点所有矢量的线性空间为$V_p$$V_p$, 应该有$\dim V_p=\dim M\equiv n$$\dim V_p = \dim M \equiv n$, 也就是$\mathrm{\forall }v\in V_p$$\forall v\in V_p$:

其中$v^{\mu }$$v^\mu$被称为坐标分量

记号: 我们使用$(O,\mathrm{\Psi })$$(O, \Psi)$为一个坐标系, 其中$O$$O$是$M$$M$上的一个开集, $\mathrm{\Psi }$$\Psi$是一个向${\mathbb{R}}^n$$\mathbb{R}^n$的映射

流形上的矢量场

定义2: 设$A$$A$ 为流形$M$$M$的子集, 若给$A$$A$的每一个点指定一个矢量, 就得到一个定义在$A$$A$上的矢量场(vector field)

定义3: 两个光滑矢量场 (指$v(f)\in {\mathcal{F}}_M$$v(f)\in \mathcal{F}_M$) 的对易子是一个光滑矢量场$[u,v]$$[u,v]$, 定义为:

定理2: 任意一个坐标系的任意两个基矢场都互相对易

对偶矢量场

定义1: $V$$V$是$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$ 上的有限维线性空间, 线性映射$\omega :V\to \mathbb{R}$$\omega: V \rightarrow \mathbb{R}$ 称为$V$$V$上的 对偶矢量(dual vector). $V$$V$上的全体对偶矢量集合称为$V$$V$的对偶空间, 记作$V^{\ast }$$V^*$.

例1: 假设$V$$V$上有基矢变换$e_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }^{\nu }{e}_{\nu }$$e'_\mu = A^\nu_{\;\mu}e_\nu$, 则相应的对偶矢量基地变换是什么呢?

假设我们有$, 那么:

其中$\tilde{B}$$\tilde{B}$表示矩阵$B$$B$的转置.

于是得到

最后给出:

例2: 微分算符诱导对偶矢量场, 记为$\mathrm{d}f$$\mathrm{d} f$.

$$df{|}_p(v):=v(f),\mathrm{\forall }v\in V_p$$

设$(O,\mathrm{\Psi })$$(O,\Psi)$, 第$\mu$$\mu$ 个坐标.$x^{\mu }$$x^{\mu}$可以看作一个函数,于是有它的微分, 由如上定义显然有:

$$\mathrm{d}{x}^{\mu }({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^{\nu }}})={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^{\nu }}}(x^{\mu })={\delta }_{\nu }^{\mu }$$

一般的, 我们可以用这一组基底$\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$$\{\mathrm{d}x^{\mu}\}$来分解$\mathrm{d}f$$\mathrm{d}f$:

$$\mathrm{d}f={\displaystyle \frac{\partial f(x)}{\partial x^{\mu }}}\mathrm{d}{x}^{\mu },\mathrm{\forall }f\in {\mathcal{F}}_M$$

其他问题

例1: 讨论极坐标中的坐标基矢$\{{\hat{e}}_r,{\hat{e}}_{\phi }\}$$\{\hat{e}_r, \hat{e}_\varphi \}$, 它们是正交归一的, 但是不是坐标基底$\{\partial /\partial r,\partial /\partial \phi \}$$\{\part/\part r, \part/\part \varphi \}$, 因为坐标基底有:$\delta (\partial /\partial \phi ,\partial /\partial \phi )=r^2\ne 1$$\delta(\part/\part \varphi, \part/\part \varphi) = r^2 \ne 1$, 其中$\delta ={\delta }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }$$\delta = \delta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\otimes\mathrm{d}x^{\nu}$. 所以此处${\hat{e}}_{\phi }:=r^{-1}\partial /\partial \phi$$\hat{e}_\varphi := r^{-1}\part/\part\varphi$.

记号:

• 抽象指标表示: 使用形如$T_c^{ab}$$T^{ab}_{\;\;\;c}$来表示存在一个(2,1)型张量.

• 讨论张量的分量时, 使用希腊字母作为具体指标, 展开式为

  $$T_c^{ab}=T_{\sigma }^{\mu \nu }(e_{\mu }{)}^a(e_{\nu }{)}^b(e^{\sigma }{)}_c$$
  $$T_{\sigma }^{\mu \nu }=T_c^{ab}(e^{\mu }{)}_a(e^{\nu }{)}_b(e_{\sigma }{)}^c$$

• 例: 因为度规$g\in {\mathcal{T}}_V(0,2)$$g \in \mathcal{T}_V(0,2)$, 所以应该记为$g_{ab}$$g_{ab}$. 设$v\in V$$v \in V$,则 $v=v^a$$v = v^a$, 在有度规$g$$g$时$V,V^{\ast }$$V, V^*$的一个自然的同构映射为$g:V\to V^{\ast }$$g: V\rightarrow V^*$. 应用上可以定义$v^a$$v^a$的对偶矢量$v_a$$v_a$. 写作:

  $$v_a=g_{ab}{v}^b$$

  类似的, 通过从$V^{\ast }\to V$$V^*\rightarrow V$的$g$$g$的逆映射$g^{-1}$$g^{-1}$, 因此我们可以看到$g^{-1}$$g^{-1}$是(2,0)型张量, 本来应该记作$(g^{-1}{)}^{ab}$$(g^{-1})^{ab}$, 但是通常都简单记为$g^{ab}$$g^{ab}$. 表示上有:

  $${\omega }^a=g^{ab}{\omega }_b$$