特殊坐标架下的$\mathrm{\nabla }$$\nabla$算符

微分流形中的基本概念

在一个有拓扑结构的几何体中(一个流形), 可以定义一些坐标卡, 流形的几何结构体现在坐标卡的度规张量和联络中, 在此处我们仅仅为了应用, 不会深入讨论严格定义. 下面就用例子来说明

线元

对一个流形的几何结构描述可以从写出它的线元开始, 对于三维欧式空间, 有$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2$$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2$, 对于欧氏空间中的极坐标架, 有$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+(r\mathrm{d}\theta {)}^2$$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}r^2 + (r\mathrm{d}\theta)^2$.

基矢

对于一个坐标架, 我们可以在流形中任意一点定义与之对应的基矢, 这个向量空间中的基矢可以等同地映射到一个微分算符上, 所以我们用微分算符来表达基矢, 例如:

在欧式空间的自然坐标系中, 线元如$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2$$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2$, 我们可以定义任意一点的基矢为${\hat{e}}_{\mu }={\partial }_{\mu }$$\hat{e}_{\mu} = \partial _{\mu}$, ${\partial }_{\mu }={\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z$$\partial_{\mu} = \partial_x,\partial_y,\partial_z$. 我们视$x,y,z$$x,y,z$坐标分别为$x^1,x^2,x^3$$x^1,x^2,x^3$, 对应基矢我们有对偶矢量, 记为${\hat{\theta }}^{\mu }$$\hat{\theta}^{\mu}$, 这个矢量是一个映射, 行为如${\hat{\theta }}^{\mu }{\hat{e}}_{\nu }={\delta }_{\nu }^{\mu }$$\hat{\theta}^{\mu} \hat{e}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\;\nu}$.

因此我们可以直接标记${\hat{\theta }}^{\mu }=\mathrm{d}{x}^{\mu }$$\hat\theta^{\mu} = \mathrm{d}x^{\mu}$, 这满足偏导关系.

度规张量

度规张量与线元的表达式直接相关, 如欧式空间的自然坐标系, 其度规张量可以写成

可以看出他是由对偶矢量直积给出, 在三维欧式空间自然坐标基下满足映射关系

写成矩阵形式

类似的, 对于欧式空间的极坐标, 我们有度规张量为

非坐标基

为了方便研究, 我们给出一组正交归一的基底, 总是满足$\hat{g}({\hat{e}}_{\mu },{\hat{e}}_{\nu })={\delta }_{\mu ,\nu }$$\hat{g}(\hat{e}_{\mu}, \hat{e}_{\nu}) = \delta_{\mu,\nu}$

例如, 对于三维欧式空间的极坐标, 其正交归一的基底为

相应的对偶基底为

在正交归一基下写出度规张量:

抽象指标标记

为了明确一个张量的张量类型, 使用抽象指标来表示一个矢量的类型, 例如

第一行表示一个(2,1)型张量; 第二行表示一个基矢, 但注意其指标与矢量不同, 放在上边, 因为它的变换关系满足(1,0)型张量.

给出$\mathrm{\nabla }$$\nabla$算符

对于任意坐标架中的$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$$\vec{\nabla}$, 我们可以将它写成$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\mathrm{\nabla }}_a{\hat{\theta }}^a$$\vec\nabla = \nabla_a\hat{\theta}^a$, 一般来说$\mathrm{\nabla }$$\nabla$算符的行为像一个逆变矢量, 因此标记为${\mathrm{\nabla }}_a$$\nabla_a$, 其中协变导数目前仍为普通导数(对这里的理解还比较困惑)

继续尝试给出梯度, 在梯度运算中只涉及一次协变导数运算, 并且我们选择作用在标量函数上, 因此用普通导数即可.

针对二维, 使用正交归一基有

其中微小变动$\mathrm{d}u$$\mathrm{d}u$在流形中理解为一个对偶矢量, 其对一般矢量的映射关系是$\mathrm{d}u(v)=v(u)$$\mathrm{d}u(v) = v(u)$.

一个微小变动可以写成: