counting states

Notations

for a states with degenerate quantum states, we label our basic quantities as:

• Energy Levels: ${\epsilon }_1$$\varepsilon_1$ ${\epsilon }_2$$\varepsilon_2$ ${\epsilon }_3$$\varepsilon_3$ ...
• Degeneracy: ${\omega }_1$$\omega_1$ ${\omega }_2$$\omega_2$ ${\omega }_3$$\omega_3$ ...
• Particle Number: $a_1$$a_1$ $a_2$$a_2$ $a_3$$a_3$ ...
• Total Particles: N
• number of states: $\mathrm{\Omega }$$\Omega$

Maxwell Boltzmann Distribution

Now we search for a simple situation, which have distinguishable particles.

For each energy level ${\epsilon }_l$$\varepsilon_l$, we try to give the number of situations with degeneracy ${\omega }_l$$\omega_l$ and occupied particles $a_l$$a_l$, every particle have ${\omega }_l$$\omega_l$ choices, thus gives

Now we take all the levels into account, we should multiple all the $\mathrm{\Omega }({\epsilon }_l)$$\Omega(\varepsilon_l)$ in series. Then we can firstly divide every $\mathrm{\Omega }({\epsilon }_l)$$\Omega(\varepsilon_l)$ by $a_l!$$a_l !$ and multiple a $N!$$N !$ factor. This will gives particle distribution $a_1,a_2,a_3...$$a_1, a_2, a_3...$ occupying on energy levels ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3...$$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 ...$ state number:

Bose Distribution

绷不住了, 快让我先用中文写了

现在讨论的是每一个态可以有任意多粒子的体系(区别于费米分布), 这样的话我们可以采取隔板法来讨论这个态个数

得到的结果应该是:

Classical Approximation

如果满足经典极限条件为

这样的话玻色分布和麦克斯韦玻尔兹曼分布的差别为:

Question

但是我们回过头来看麦克斯韦玻尔兹曼分布的含义, 玻尔兹曼分布中我们也假设每一个量子态可以任意的放置粒子, 此时粒子都是可以分辨的, 然后如果我们把这个分布数目 ${\mathrm{\Omega }}_{M,B}$$\Omega_{M, B}$ 除以 $N!$$N !$ ,哇塞这似乎就把可辨的粒子转变为了不可辨的粒子, 等等, 这和玻色分布有什么区别!

等等快了啊, 快了啊! 回头去看看这个经典极限取的过程. 经典极限中 ${\displaystyle \frac{a_l}{{\omega }_l}}\ll 1$$\dfrac{a_l}{\omega_l} \ll 1$, 说明的是每一个量子态粒子的占据数目会远少于1. 如果玻色分布是正确的, 那出问题的应该是我们对麦克斯伟玻尔兹曼分布加上$\frac{1}{N!}$$\frac{1}{N!}$ 的理解, 出错的地方就在于粒子大量处于同一个量子态的情况, 因为经典极限就是让这样的情况趋于不存在!

现在我们假设只有一个量子态, 有$a$$a$个粒子放入这个量子态里面, 分别用两种统计方法来讨论, 首先看玻色分布, 因为我们只有一个隔间, 所以$\omega =1$$\omega = 1$, 态个数为${\mathrm{\Omega }}_B=(\omega +a+1)!/a!=1$$\Omega_{B} = (\omega+a+1)!/a! = 1$, 这显然没问题, 因为我们只有一个格子, 所有粒子只能全部放进去, 这是唯一的系统的态.

然后看一看加上全同性条件后的麦克斯韦玻尔兹曼分布, ${\mathrm{\Omega }}_{M,B}/N!=\frac{1^a}{a^{!}}$$\Omega_{M, B}/N! = \frac{1^{a}}{a^!}$, 欸? 怎么成了分数?

哦! 问题在于即使在粒子可辨的情形下, 它们放在同一个态中的态的数目仍然是$1$$1$, 而不是$N!$$N!$, 出的问题就在于混淆了粒子全排列和粒子放入隔板的情形.

现在我们有了结论了, 如果想问${\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_{M,B}}{N!}}$$\dfrac{\Omega_{M,B}}{N!}$究竟是个什么东西, 应该说什么都不是! $N!$$N!$ 除去的是粒子的全排列, 并不是在任何情况下都代表取消粒子的可辨性. 而在经典极限条件下, 不存在多个粒子同时放在一个量子态的情况, 所以全排列恰好可以取消掉粒子的可辨性.