紧束缚模型

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在tight-binging模型中,哈密顿量写成 $$ H = H_{\mathrm{at}} + \Delta U(\vec{r}) $$

这里第一项讨论的是没有其他原子势能影响的单个原子的势能,也就是在$\vec{r} = \vec{R}$处的原子仅会在$\vec{R}$处的晶格产生势能而不会影响其他的晶格

import numpy as np
# Hat 形式假设
a = 1 # 晶格常数
Hat_single = lambda x, mu: -np.exp(-(x-mu)**2/(2*(a/3)**2)) # 符合大概形状即可

truncation = 10
H = lambda x: sum([Hat_single(x,a*i) for i in range(-truncation, truncation+1)])
Hat = lambda x: Hat_single((x+a/2)%a-a/2,0)

import matplotlib.pyplot as plt

# 单原子势能
x = np.linspace(-2,2,300)
plt.figure()
plt.title('single atom potential')
plt.plot(x,Hat_single(x, 0))
plt.ylim([-1.1, 0.1])

# Hat势能
plt.figure()
plt.plot(x,Hat(x))

# H势能
plt.plot(x,H(x))
plt.ylim([-1.1, 0.1])

# \Delta U
plt.plot(x,H(x)-Hat(x))
plt.legend(['no correlation', 'total potential', r'$\Delta U$'])

<matplotlib.legend.Legend at 0x233bb57a140>

计算紧束缚模型:

根据Bloch Theorem: $$\Psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \sum_{\vec{R}} e^{i\vec{k} \cdot \vec{R}} \phi(\vec{r}-\vec{R})$$ 其中 $$\phi(\vec{r}) = \sum_{n} b_n \psi_{n}$$ $$H\Psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = (H_{\mathrm{at}} + \Delta U(\vec{r}))\Psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \mathcal{E}(\vec{k})\Psi_{\vec{k}}(\vec{r})$$ 左乘一个单原子的本征函数,注意我们做出假设: $$H_{\mathrm{at}} \psi_{m} = E_{m} \psi_{m}$$ 这个假设成立的前提是$\psi_{m}$在一个晶格之外的波函数为0(当然不可能, 只能是近似意义上), 因此称为紧束缚模型. 得到左乘后的表达式: $$\int \psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) H_{\mathrm{at}} \psi(\mathbf{r}) d \mathbf{r}=\int\left(H_{\mathrm{at}} \psi_{m}(\mathbf{r})\right)^{*} \psi(\mathbf{r}) d \mathbf{r}=E_{m} \int \psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \mathbf{r}$$ 已经将总哈密顿量$H$的本征函数下表$\vec{k}$省略, 我们发现: $$\left(\mathcal{E}(\mathbf{k})-E_{m}\right) \int \psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \mathbf{r}=\int \psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \mathbf{r}$$ 根据单原子本征函数的正交性可以得到: $$\begin{aligned} \left(\mathcal{\mathcal{E}}(\mathbf{k})-E_{m}\right) b_{m}=&-\left(\mathcal{E}(\mathbf{k})-E_{m}\right) \sum_{n}\left(\sum_{\mathbf{R} \neq 0} \int \psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) \psi_{n}(\mathbf{r}-\mathbf{R}) e^{\mathbf{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{R}} d \mathbf{r}\right) b_{n} \\ &+\sum_{n}\left(\int\psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \psi_{n}(\mathbf{r}) d \mathbf{r}\right) b_{n} \\ &+\sum_{n}\left(\sum_{\mathbf{R} \neq 0} \int \psi_{m}^{*}(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \psi_{n}(\mathbf{r}-\mathbf{R}) e^{\mathbf{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{R}} d \mathbf{r}\right) b_{n} . \end{aligned}$$

由这个等式可以解出$\mathcal{E}(\vec{k})$的值(in theory)